Git a více verzí projektu

Určitě.

Git je distrubovaný verzovací systém a tak se nikdy, opakuji nikdy nemůžou repozitory lišit v obsahu commitu. Mohou se lišit jen v existenci celých commitů.

Při commitu git určí hash commitu podle hashe všech změněných souborů, hashe rodičů commitu a některých dalších vlastností (kdo a kdy commitnul, komentář).
Proto se ti nikdy nepodaří mít neúplný repozitář ve smyslu, že obsahuje některé soubory a jiné ne. Na jednu stranu je to silný mechanizmus, který zaručuje, že historie je neměnná a pokus o její změnu vždy selže.

Tudy tedy cesta nevede, ale můžeš mít větev verze_github, do které budeš rebase-ovat (nebo cherry-pickovat, to je skoro to samé) všechny změny ve větvi verze a vyhodíš odtud všechny soubory, které nechceš mít na githubu. Merge ti nebude fungovat, protože by ti referencoval commity ve větvi verze spolu se všemi objekty stromu větve verze. Ty dvě větve budou permanentně oddělené a nikdy se nesmí spojit mergem. To také znamená, že repozitory bude obsahovat duplicity téměř všech objektů - dvojnásobná velikost.

Druhou možností je git sub-module. Ale o tom moc nevím, nastuduj si o tom něco sama. Moc vhodný také nebude, ale možná by šel přiohnout.

Zvaž sama, jestli ti to za to úsilí stojí...

Můžeš samozrejmě pushnout je některé větve, to jsem zapomněl explicitně zmínit.
Myšlenka distribuovaných VCS je taková, že každá repozitory má úplnou informaci a jsou od sebe z hlediska historie nerozeznatelné. Ochuzuješ se o možnost kdekoli provést clone repozitory na githubu a pokračovat v práci. Také potom nebude platit, že na githubu máš zálohu.

Tori:
„je možné nějak nastavit, aby se na github posílaly jen některé adresáře?“
Ne, tohle nejde udělat. Můžeš si nechat automaticky vygenerovat nový repozitář, který bude obsahovat pouze tebou zvolené adresáře (viz Git - commitnutí se zpětným datem), ale spíš bych to nedoporučoval. Dala by se i zautomatizovat synchronizace mezi těmi repozitáři pomocí hooků, ale vyžadovalo by to určité počáteční úsilí si na to ty skripty napsat.

„Jak byste tohle řešili?“
Většina lidí, co znám, to řeší buď tak, že ty svoje věci a) neverzuje b) verzuje v jiném repozitáři c) verzuje v jiné větvi (viz juriad). Záleží, co je v dané konkrétní možnosti realizovatelné. Nevím o nikom, kdo by použil řešení s druhým automaticky generovaným repozitářem.

„github mi stejně neumožnil mít odlišný lokální .gitignore“
Lokální .gitignore mít můžeš, ale není to to, co hledáš. Soubor .gitignore slouží k ignorování souborů, které nechceš z nějakého důvodu commitnout (obvykle se jedná o dočasné soubory nebo soubory vytvořené editorem, který používáš). Neslouží k výběru souborů, které se pushnou na server.