Goniometrické funkce a radiány

Reaguji na uhla:
„Úhlový stupeň je podřadnější jednotka, že se dává přednost radiánům?“
V podstatě ano.
Jediná výhoda stupňů je, že jsou hezky kulaté.

uhel:
„můj dotaz je proč to tak je? Úhlový stupeň je podřadnější jednotka, že se dává přednost radiánům?“
Radiány sú vhodnejšie pre matematické výpočty.
Napríklad funkcia sínus sa dá vyjadriť:

Ak by bolo x v stupňoch, tak by to tak "pekne" vyjadriť nešlo.

Stupně jsou uměle vytvořené, číslo 360° se používá z historických důvodů (více možná bude vědět Chamurappi, prý to pochází od starých Babylóňanů :-)). Radián má původ "matematický", jedná se o poměr délky oblouku ku délce 'poloměru' (nevím správný výraz). Inženýři budou pravděpodobně nadále pracovat ve stupních, neb 20° je srozumitelnější než 0,349, matematici v radiánech neb jim to lépe vychází, viz _es.

TomášK:
„Inženýři budou pravděpodobně nadále pracovat ve stupních,“
Alebo niekedy v "otáčkach", kde jedna "otáčka" je 360°. Alebo v niečom významovo "otáčke" podobnom.

TomášK:
„jedná se o poměr délky oblouku ku délce 'poloměru' (nevím správný výraz)“
1 rad je úhel úseče o délce rovné poloměru.
Radiány se používají, protože na rozdíl od stupňů jsou definovány v . Ve vysokoškolské matematice se se stupni už nepočítá nikde.

DoubleThink:
„Radiány se používají, protože na rozdíl od stupňů jsou definovány v R“
Táto veta mi nie je zrozumiteľná.
To R sú reálne čísla, alebo čo?

_es:
„To R sú reálne čísla, alebo čo?“
Ano, reálná.

Keeehi:
„Ano, reálná.“
Ale veď uhlové stupne sú tiež reálne čísla, je to reálne číslo vynásobené reálnym, teda tiež reálne číslo.
Takže mi veta: DoubleThink: „Radiány se používají, protože na rozdíl od stupňů jsou definovány v R.“ nedáva zmysel.

_es:
Tak možná to myslel jinak. Lepší bude, když se vyjádří on.

_es:
„Ale veď uhlové stupne sú tiež reálne čísla, je to reálne číslo vynásobené reálnym, teda tiež reálne číslo.“
Ne nejsou. Úhlový stupeň není reálné číslo.

DoubleThink:
„Úhlový stupeň není reálné číslo.“
A aké je to teda číslo? Imaginárne?

uhel:
„můj dotaz je proč to tak je?“
Domnívám se, ačkoliv to nemám nikde ověřené, že je to z důvodu nižšího nároku na paměť. Vždyť:
0° = 0 × π
45° = 0,25 × π
90° = 0,5 × π
180° = 1 × π
360° = 2 × π
540° = 3 × π
720° = 4 × π
1080° = 6 × π
Tedy, jinými slovy, v případě stupňového vyjádření roste číslo poměrně rychle nahoru, kdežto v obloukové míře je tento nárůst výrazně pomalejší. A to, myslím, byl argument v „dřevních“ dobách počítačů pro zavedení radiánového vyjádření úhlů, kdy se šetřilo na každém bajtu.

Mistr:
„A to, myslím, byl argument v ‚dřevních‘ dobách počítačů pro zavedení radiánového vyjádření úhlů, kdy se šetřilo na každém bajtu.“
Nie, je to preto, že goniometrické funkcie v radiánoch sú menej náročné na výkon počítača a aj presnejšie, lebo pri prerobení na stupne to treba násobiť nejakou konštantou. Napríklad definícia funkcie sínus v [#3] sa nedá v stupňoch tak ľahko vyjadriť. A goniometrické funkcie nemusia byť použité len na uhly.

_es:

Oblouková míra je bezrozměrné číslo, to jej jeho výhoda. 90° není reálné číslo, stejně jako reálné číslo není 25 km.

stepan:
„Oblouková míra je bezrozměrné číslo, to jej jeho výhoda. 90° není reálné číslo,“
Radián je jednotka rovinného uhla tak isto ako uhlový stupeň. http://cs.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Jednotky_rovinn%C3%A9ho_%C3%BAhlu.
Radián je dokonca aj jednotkou SI.
To či je nejaká jednotka "rozmerná" či bezrozmerná je skôr vecou dohody, než nejakým hlbším významom.
Ak je otázka, aký je pomer dĺžky dvoch tyčí, aký je výsledok? Je bezrozmerný?
Ak jednu z tých palíc budem na meranie používať častejšie, bude výsledok tiež bezrozmerný?

_es:
Ano, podle mne je poměr délek dvou tyčí bezrozměrný.
A úhel je definován jako poměr oblouku kružnice k poloměru této kružnice, tedy je to rovněž bezrozměrné číslo.
To, že se radiány považují za jednotky rovinného úhlu je podle mne, jak píšete, spíše věcí dohody.

Kdyby v tomto vzorci bylo x rozměrné číslo, jaký význam by pak měly výrazy x^3, x^5 apod.?

Pěkné čtení k tomuto je na anglické wikipedii.
Zejména v části: Dimensional analysis (Although the radian is a unit of measure, it is a dimensionless quantity...


A poslední poznámka - ono to pojetí asi závisí na tom, jestli s radiány pracuje fyzik nebo matematik. Pro praktické použití ve fyzice se používá význam s rozměrem, pro teoretickou práci s úhly v matematice se to bere jako bezrozměrné.
Tak jsem to alespoň intuitivně pochopil z výše uvedené anglické wikipedie.

stepan:
„To, že se radiány považují za jednotky rovinného úhlu je podle mne, jak píšete, spíše věcí dohody.“
Ale ak nie je k číslu priradená jednotka radián, tak z čoho zistíš, že ide o číslo vyjadrujúce veľkosť rovinného uhla? A nie trebárs o niečo úplne iné - napríklad steradián?

„To, že se radiány považují za jednotky rovinného úhlu je podle mne, jak píšete, spíše věcí dohody.“
Skôr je vecou dohody v matematike, že radiány označovať netreba. A je možné, a má niekedy zmysel, aj rátanie sínusu aj z niečoho iného než z veľkosti uhla.

„Kdyby v tomto vzorci bylo x rozměrné číslo, jaký význam by pak měly výrazy x^3, x^5 apod.?“
Netreba spolu nesprávne spájať čísla a to, k čomu sú priradené.
Ak vyjadruje x veľkosť uhla, aký má význam a výsledok x^7? - To je podobne nezmyselná otázka.

Ten posledný odstavec si napísal neskôr, s tým sa dá súhlasiť.

stepan:
„90° není reálné číslo, stejně jako reálné číslo není 25 km“

Toto mě zajímá. Chceš říct, že čísla s jednotkama nejsou reálná? Není to prostě počet kilometrů vyjádřených číslem, v tomto případě reálným/přirozeným/celým?

Taurus:
Podle mne číslo s jednotkou vyjadřuje nějakou velikost. Ale čísla samotná jsou bezrozměrná. Takže vzdálenost do R nepatří. Ale patří tam 25, tedy číslo, které jsme si k udané vzdálenosti přiřadili. A přidali k němu jednotku.

Ale to jsou jen úvahy amatéra. Zajímal by mne názor DoubleThinka, který tuto debatu rozpoutal.

Taurus:
(25 km) je číslo, doplnené o to, čo vyjadruje.
5 je len číslo.
(5 rad) je číslo, doplnené o to, čo vyjadruje.
Preto (5) a (5 rad) nie je to isté.
Veta: Rovinný uhol má veľkosť 5 rad.
Vyjadruje to isté čo veta: Rovinný uhol má veľkosť 5.
Lebo je radián stanovený ako prirodzená miera pre veľkosť rovinného uhla.